В десятиченой системе всё просто. Число из трёх одинаковых цифр должно делиться на 37, потому что 37х3=111, а ВВВ кратно 111. И простой перебор мгновенно приводит к АБВ = 185, что и нашёл поТОМокноЯ.
Кроме того, поскольку тут есть три разные цифры, то система счисления должна быть как минимум троичной. При этом в троичной системе только Б может быть равно нулю, если следовать дополнительным условиям. С другой стороны, сумма трех одинаковых трёхзначных чисел в троичной системе не может дать опять же трёхзначного числа - оно выйдет за разрядную сетку.
Так что про троичную систему забыли и займёмся четверичной. Тогда, по той же причине (ограничение разрядной сетки) А=1. Любой другой вариант даст сумму, превышающую 333 (максимально возможно трёхзначное число в четверичной системе). Тогда В=2, только при таком варианте получится двойка в последнем разряде суммы (в четверичной системе 2+2+2=12). Это, надо сказать, универсальное правило, верное для любой системы: последняя цифра должна быть равна половине основания системы счисления. По этой же причине основание системы не может быть нечётным. Но первая цифра суммы, как мы выяснили, 3 и никакая другая, то есть В=2 тоже не годится. Поэтому и четверичная система тоже мимо.
Пятеричная, семеричная и девятеричная системы: как отмечено, основание должно быть чётным числом, так что эти все тоже идут в ведро.
Шестеричная: как и прежде, А=1 (при А=2 выходим за разрядную сетку). В, как мы выяснили, должно быть 3 (3+3+3=13). Однако единица в переносе портит всю малину: раз все цифры разные и раз 1 и 3 уже заняты, при этом А+А+А уже равно 3, то нет вариантов, при котором заёмная 1 от младшего разряда давала бы тройку во втором разряде, причём так, чтоб "в уме" для второго разряда не появлялось. Всё, шестеричная система тоже идёт лесом.
Восьмеричную я пропущу, и сейчас станет ясно - почему.
Вот остаётся у нас старая добрая десятичная система, где решение есть, и оно равно 185. Теперь получим его "правильно", это пригодится дальше. В=5, как и полагается. А=1, иначе не получить пятёрку в старшем разряде и трёхзначную сумму. Значит, надо ещё двойку как перенос из суммирования второго разряда, поэтому для Б должно выполняться Б+Б+Б+1=2*10+5. Откуда и получаем Б=8.
И вот тут можно заметить важную вещь: основание системы счисления должно быть чётным, но вот половина основания из-за "+1" должна быть нечётной. Поэтому отпадают такие системы, как восьмеричная, двенадцатеричная, шестнадцатеричная и так далее.
Для полноты картины можно посмотреть и на другие системы счисления с чётным основанием и нечётной половиной основания.
Четырнадцатеричная: В=7, А=2 и должна быть единица из среднего разряда. То есть для среднего разряда имеем Б+Б+Б+1=17₁₄, или, в привычной десятичной записи, 3*Б+1=21. В целых числах решения нет.
Восемнадцатеричная: В=9, А=3, причём никакого заёма из среднего разряда. Для Б тогда должно быть Б+Б+Б+1=9. Решения нет.
Система по основанию 22: В=B₂₂, A = 3 и двойка переноса из предыдущего разряда. Для Б имеем, в десятичной записи, Б+Б+Б+1=2*22+11, откуда Б=18, что в 22-ричной системе соответствует цифре H, то есть 3НВ+3НВ+3НВ=ВВВ, все буквы тут обозначают соответствующие цифры системы с основанем 22.
Ну в общем желающие могут рассмотреть и другие системы счисления, я спёкся. Важно лишь, чтобы уравнение Б+Б+Б+1=n*Base+Base/
